Gödel Kanıtlaması

'Gerçek' matematikçilerin ugrastigi 'gerçek' matematigin neredeyse tamamen yararsiz oldugu söylense de saf matematikle ugrasan Gottlob Frege, Georg Cantor ve Richard Dedekind herhangi bir yararli makine icat etmemisler ama Batida yeni bir düsünme tarzinin temellerini atan bir araç saglamislardir. Çaglar boyunca matematigin kesinlik, tutarlilik, tamlik gibi ideal beklentileri eksiksizce karsilayan bir bilim oldugu düsünüldü. Kesinlik, tutarlilik, tamlik gibi niteliklerin matematige yüklenmesinin en önemli nedeni, matematigin aksiyomlardan türetilen dogru önermelerinin, yani teoremlerin kesin olarak kanitlanabilir olmasiydi. Matematigin teoremlerinin dogru iseler, dogruluklari kesinlikle kanitlanabilen, dogru degilseler de, yine dogru olmadiklari kesin olarak kanitlanabilen önermeler olduklari, dolayisiyla matematikte kesinlik ve tutarliligin tam olarak egemen oldugi kabul edilmisti. Gödel'in kanitlamasi bu kabullerin ve beklentilerin dogru olmadigini yine matematikten yola çikarak kesin olarak kanitlamistir. Whitehead ve Russell'in matematigin mantiksal temelleri konusundaki dev çalismasi olan Principia Mathematica'yi ele alarak temellerin hep eksik kalacagini göstermistir. Yani dogal sayilar aritmetigini kapsayan bir biçimsel dizgede öyle önermeler vardir ki, bunlarin ne dogru ne de yanlis olduklari kanitlanabilir. Ayrica Gödel, dogal sayilar aritmetigini kapsayan bir biçimsel dizgenin tutarliliginin, bu dizgenin kendi içinde kanitlanamayacagini da kanitlamistir. Gödel kanitlamasinin sonuçlari matematigin kendi içsel sinirliliklari oldugunu ortaya koymustur. Gödel kanitlamasi mantik ve matematigin disina tasan felsefi sonuçlara da sahiptir. Matematigin ve matematiksel nesnelerin aslî dogasi, matematikle mantigin iliskisi, vb. felsefi meseleleri yeni bir tartisma zeminine tasimistir. Ayrica postmodernite üzerine düsünce üreten felsefeciler de Gödel'e sik sik gönderme yapmakta ve bütünselci yaklasimlara yöneltilen elestirilerde Gödel'in çalismalarindan da destek bulduklarini düsünmekteler.